Η υπόθεση των Birch και Swinnerton-Dyer είναι ένα από τα πιο σημαντικά ανοιχτά προβλήματα στη θεωρία των αριθμητικών ελλείψεων και σχέσεων μεταξύ αριθμητικής και αλγεβρικής γεωμετρίας. Αυτή η υπόθεση προέκυψε από το έργο των μαθηματικών Bryan Birch και Peter Swinnerton-Dyer στη δεκαετία του 1960.
Συγκεκριμένα, η υπόθεση αφορά τις ελλείψεις της μορφής y^2 = x^3 + ax + b, όπου a και b είναι ακέραιοι αριθμοί και οι λύσεις (x, y) είναι ακέραιοι αριθμοί επίσης. Η υπόθεση των Birch και Swinnerton-Dyer προβλέπει ότι υπάρχει μια στενή σχέση μεταξύ της ανάλυσης των ελλείψεων αυτών και της θεωρίας των αβελιανών πολλαπλοτήτων, μιας κλάσης αλγεβρικών γεωμετρικών αντικειμένων.
Η υπόθεση εκφράζει ότι η έλλειψη παρουσιάζει μια ιδιαίτερη δομή, γνωστή ως αναλυτική περίοδος, η οποία είναι συνδεδεμένη με την τάξη της αβελιανής πολλαπλότητας. Ειδικότερα, αν η αναλυτική περίοδος είναι μη μηδενική, τότε η έλλειψη έχει άπειρα πολλαπλά σημεία, ενώ αν είναι μηδενική, τότε η έλλειψη έχει μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Η υπόθεση των Birch και Swinnerton-Dyer προτείνει ότι η πολυπλοκότητα των ελλείψεων συνδέεται άμεσα με την πολυπλοκότητα της αβελιανής πολλαπλότητας που σχετίζεται με αυτές.
Παρόλο που η υπόθεση των Birch και Swinnerton-Dyer έχει εξεταστεί εκτενώς και έχουν προταθεί πολλές προσεγγίσεις και αποδείξεις για συγκεκριμένες περιπτώσεις, ακόμα δεν έχει βρεθεί γενική απόδειξη. Αυτό το καθιστά ένα ανοιχτό μαθηματικό πρόβλημα που συνεχίζει να προβληματίζει τους μαθηματικούς και να παραμένει ένα από τα μεγάλα μυστήρια της αριθμητικής θεωρίας.
Η υπόθεση των Birch και Swinnerton-Dyer ανήκει σε μια ειδική λίστα ανοιχτών προβλημάτων στα μαθηματικά γνωστή ως τα “Millennium Problems” που παρουσιάστηκαν από το Ινστιτούτο Clay. Για την επίλυση κάθε προβλήματος σε αυτήν τη λίστα προσφέρεται χρηματικό έπαθλο 1 εκατομμύριο δολάρια.
